AYT Türev: alma kuralları ve örnek çözümler

Ana noktalar

• Sabit terimin türevi sıfırdır, x üzeri n terimlerinde ise üs başa katsayı olarak alınır ve üs bir azaltılır. 0:18
• Toplam ve fark fonksiyonlarının türevi, her fonksiyonun türevi ayrı ayrı alınarak bulunur. 2:46
• Köklü ifadeler kesirli üslü kuvvet olarak yazılıp aynı kuvvet kuralıyla türevlenir; örneğin 1/x⁴ = x⁻⁴ ise türevi -4/x⁵ olur. 4:05
• İkinci türev için önce birinci türev alınır, sonra çıkan ifadenin türevi tekrar alınır; ayrıca soru f(x) mi yoksa f'(x) mi istediğine dikkat edilmelidir. 8:48
• Türev alma işlemlerinde limit tanımıyla uzun hesap yapmak yerine türev kuralları kullanılmalıdır; örneğin Σx^k toplamında f'(-1) için terimler ikişerli gruplanarak f'(-1) = -10 bulunur. 1:24

Çözümlü örnek: P(x) ikinci dereceden polinom olmak üzere, P''(x) + P'(x) + P(x) = 2x² + 7x + 8 eşitliği veriliyor. Buna göre P(−2) kaçtır?

• 1. P(x) = ax² + bx + c alınır; P'(x) = 2ax + b ve P''(x) = 2a bulunur. 19:40
• 2. Üç ifade toplanır: ax² + (b + 2a)x + (c + b + 2a) = 2x² + 7x + 8 yazılır. 20:10
• 3. Katsayılar eşitlenir: a = 2, b = 3, c = 1 bulunur. 20:44
• Cevap: 3

Koşullar

• Kuvvet fonksiyonunun türevi — f(x) = c · xⁿ ise f'(x) = c · n · x^(n−1). Üs başa katsayı olarak alınır, üs bir azaltılır. 0:16
• Sabit fonksiyonun türevi — f(x) = c ise f'(x) = 0 olur. 0:04
• Toplam ve fark türevi — İki fonksiyonun toplamının ya da farkının türevi, fonksiyonların ayrı ayrı türevlerinin toplamı ya da farkına eşittir. 2:27
• Koşullu fonksiyon — x = 1 apsisli noktadaki türevi pozitif tam sayı olan fonksiyon. 6:16

Tahtadaki notlara yakından bak

• Birinci türev sonucu — Alt sol köşede f'(x) = 15x² − 2x olarak türev yazılmış.
• Limit tanımındaki türev — Alt satırda f'(2) · 1/4 = f'(2)/4 = 1 hesabı yazılı.
• Toplamın açılımı — Toplam sembolü açılmış: 0 + 1 + 2x + 3x² + 4x… şeklinde yazılmış.
• Katsayı eşitliği — a x² + (b + 2a)x + (c + b + 2a) ifadesi 2x² + 7x + 8 ile eşitlenmiş.

Türev alma kuralları

• : f(x) = c (sabit) · : f'(x) = 0
• : f(x) = xⁿ · : f'(x) = n · x^(n−1)
• : f(x) = c · xⁿ · : f'(x) = c · n · x^(n−1)

Kendini kontrol etmek için sorular