1 2 3 4 5 6

0:00videonun tamamına yayılmış 6 ders50:03

Neler yapabileceksin

Newton'un çekim yasasından dairesel yörüngedeki bir cismin yörünge hızını ve periyodunu türet
Yörüngedeki bir cisim için kinetik enerji ile gravitasyonel potansiyel enerji arasındaki ilişkiyi kurmak üzere enerji korunumunu uygula
Bir gezegenin yüzeyinden kaçış hızını GM ve yarıçapı kullanarak hesapla
Kepler yasalarının gezegen hareketini nasıl tarif ettiğini açıkla ve bunları Newton'un çekim kuramına bağla
Toplam mekanik enerjiye bakarak yörüngeleri bağlı ya da bağsız olarak sınıflandır
Enerji ve açısal momentumu kullanarak eliptik, dairesel ve kaçış yörüngelerini ayırt et

Önce bilmen iyi olur

Newton'un ikinci yasası ve merkezcil ivme
Newton'un evrensel çekim yasası
Mekanik enerjinin korunumu ve gravitasyonel potansiyel enerji
Enerji ifadelerini integrallemek ya da düzenlemek için temel kalkülüs

Müfredat

6 ders ve bir final projesi

1
Kepler yasaları ve yörünge problemi: küçük bir gezegen, devasa bir güneş etrafında
0:00–9:009 dk video
Bu ders yörünge problemini kurar: büyük bir M kütlesinin çekimi altındaki küçük m kütlesi. Çekimin, gezegeni yolunda tutan merkezcil kuvveti nasıl sağladığını gösterir ve kaçış hızının arkasındaki enerji fikrini tanıtır.
4 formül3 alıştırma4 soru
2
Dairesel yörüngeler: yerçekimi merkezcil kuvveti sağlar
9:00–20:4012 dk video
Dairesel yörüngedeki bir uydu, merkezcil kuvvet rolünü oynayan yerçekimiyle yolunda tutulur. Yerçekimini mv²/r'ye eşitleyerek yörünge hızını, oradan da periyodu bulabiliriz.
3 formül3 alıştırma3 soru
3
Kepler'in üçüncü yasası ile yörünge hızı ve periyodu
20:40–27:207 dk video
Bu ders, Kepler'in üçüncü yasasının dairesel bir yörüngenin periyodunu yarıçapına nasıl bağladığını ve bunu yerçekimiyle birleştirerek yörünge hızını nasıl bulduğunu gösterir. Bu iki formülü bir uydu örneğinde uygulayacaksın.
1 kod3 formül3 adım3 alıştırma3 soru
4
Yerçekimli potansiyel enerjili yörüngenin toplam enerjisi
27:20–35:008 dk video
Bu ders, yörüngedeki bir cismin toplam enerjisinin kinetik ve yerçekimi potansiyel enerjisinin toplamı olduğunu gösterir. Toplamın, yörüngenin bağlı mı yoksa kaçış mı olacağını nasıl belirlediğini de açıklar. Ayrıca dersteki örneklerle enerji ve güç büyüklükleri hakkında bir fikir verir.
3 alıştırma3 soru
5
Enerji korunumundan kaçış hızını türetme
35:00–42:007 dk video
Yerin yüzeyinden fırlatılan bir cisim, toplam enerjisini sonsuzda sıfıra getirecek kadar kinetik enerjiye sahipse yerçekiminden sonsuza kadar kurtulabilir. Enerji korunumu bunu tek bir formüle dönüştürür.
2 formül2 alıştırma3 soru
6
Eliptik Yörüngeler, Bağlı ve Bağlı Olmayan Hareket
42:00–50:038 dk video
Bu ders, bir yörüngenin enerjisinin şeklini nasıl belirlediğini gösterir: bağlı yörüngeler kapalı elipslerdir, bağlı olmayan yörüngeler ise sonsuza kaçar. Ayrıca dersteki yörünge hareketinin temel fikirlerini özetler.
3 alıştırma3 soru

Final projesi

Görev Planlayıcı: Dairesel Yörüngeden Kaçışa

Yalnızca $G M$ ve yarıçapı kullanarak bir gezegen etrafında uydu görevi planlayan küçük bir hesaplayıcı ve kısa bir rapor hazırla. Dairesel yörünge hızını, periyodu, enerjiyi ve kaçış hızını birbirine bağlamalı ve her sonucun Newton çekim yasası ile Kepler yasalarından neden çıktığını açıklamalısın.

Ücretsiz önizleme · 1. dersin tamamı

Kepler yasaları ve yörünge problemi: küçük bir gezegen, devasa bir güneş etrafında

Bu ders yörünge problemini kurar: büyük bir M kütlesinin çekimi altındaki küçük m kütlesi. Çekimin, gezegeni yolunda tutan merkezcil kuvveti nasıl sağladığını gösterir ve kaçış hızının arkasındaki enerji fikrini tanıtır.

0:00 videoda 9:00 anına kadar

Karalama defteri

Videonun yanında çiz ve yaz.

Fikir

Lewin, bir gezegenin nasıl yörüngede kaldığı sorusuyla başlar. Çok daha ağır bir M kütlesinin (tahtada bir Güneş sembolüyle yazılmış Güneş) etrafında dönen küçük bir m kütlesi (bir gezegen) düşün. m, M'den çok, çok küçük olduğu için M'yi yerinde duruyor gibi kabul edebilir ve hareketi yalnızca küçük kütleye yaptırabiliriz. Tahtadaki çizimde, ağır cismin etrafında yaklaşık dairesel, R yarıçaplı bir yol ve yolun bir noktasında küçük cisim görülür.

Buradaki temel fikir, yalnızca yerçekiminin önemli olduğu ve bu kuvvetin m'den doğrudan M'ye doğru işaret ettiğidir. Yerçekimi yolu bükendir. Newton'un birinci yasasının dediği gibi, onsuz gezegen düz bir çizgide uzaklaşırdı. Lewin tahtaya F_grav = F_cent yazar: çekim kuvveti, gezegeni R yarıçaplı bir çemberde döndüren merkezcil kuvvetin tam olarak kendisidir.

Bu iki kuvveti eşitlemek dairesel yörünge hızını verir. Yerçekimi G M m / R kare büyüklüğünde çeker, v hızında dönmek için gereken merkezcil kuvvet ise m v kare bölü R'dir. Bir m ve bir R sadeleştirilince v kare = G M / R elde edilir; yani hız, gezegenin kendi kütlesine değil, ağır kütleye ve yarıçapa bağlıdır.

Aynı tahta bir enerji yaklaşımını da başlatır. Toplam enerji E, kinetik enerji ile gravitasyonel potansiyel enerjinin toplamıdır: E = (1/2) m v^2 - G M m / r. Lewin bunu hareketin başı ve sonu olmak üzere iki konum için yazar ve enerji korunduğu için bunları birbirine eşitler. Bu enerji muhasebesi iki duruma götürür: toplam enerji negatifse cisim bağlıdır ve bir yörünge izler; sıfır ya da pozitifse cisim kaçabilir.

Kaçış hızı, cisim ağır cismin yüzeyinden başladığında toplam enerjinin tam olarak sıfır olduğu hızdır. Lewin bunu Dünya'nın yüzeyinde hesaplar ve v_esc = sqrt(2 G M / R) elde eder; Dünya için bu yaklaşık 11,2 km/s eder. Dairesel yörünge hızı sqrt(G M / R) ile karşılaştırılırsa kaçış hızının, iki'nin karekökü kadar daha büyük olduğu görülür. İki hız birbiriyle ilişkilidir ama aynı değildir.

Ana noktalar

Küçük m, ağır M yanında ihmal edilebilecek kadar küçükse M'yi sabit kabul et; yalnızca küçük cisim hareket eder. 4:51
Çekim merkezcil kuvvettir: G M m / R^2 = m v^2 / R. 5:00
Dairesel bir yörünge için v^2 = G M / R'dir; bu yüzden gezegenin kendi kütlesi önemli değildir. 6:11
Toplam enerji E = (1/2) m v^2 - G M m / r yol boyunca korunur. 2:00
Kaçış hızı v = sqrt(2 G M / R)'dir; Dünya'nın yüzeyinden yaklaşık 11 km/s eder. 8:00

Bilmen gereken kelimeler

Yörünge: Küçük bir cismin, çekim onu daha ağır cisme doğru çektiği için, o cisim etrafında izlediği eğri yol.
Merkezcil kuvvet: Bir cismi çembersel hareket halinde tutan içe doğru kuvvet; burada bu kuvveti çekim sağlar.
Gravitasyonel potansiyel enerji: İki kütle arasındaki çekimde depolanan enerji; r uzaklığı için -G M m / r olarak yazılır.
Bağlı yörünge: Toplam enerjinin negatif olduğu, dolayısıyla cismin sonsuz uzaklığa gidemediği yol.
Kaçış hızı: Toplam enerjinin sıfıra ulaşması ve cismin sonsuza kadar ayrılabilmesi için bir yüzeyden verilmesi gereken en küçük başlangıç hızı.

Formüller

F_{g r a v} = F_{c e n t} \Rightarrow \frac{G M m}{R^{2}} = \frac{m v^{2}}{R}

Çekim, küçük kütleyi çember üzerinde tutmak için gereken kuvvetin tam aynısıyla çeker.

$G$: evrensel çekim sabiti
$M$: ağır cismin kütlesi (Güneş ya da Dünya)
$m$: küçük, yörüngedeki cismin kütlesi
$R$: dairesel yörüngenin yarıçapı
$v$: küçük cismin hızı

v^{2} = \frac{G M}{R}

Dairesel bir yörünge için hızın karesi, G çarpı M bölü yarıçapa eşittir.

$v$: yörünge hızı
$R$: yörünge yarıçapı

E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{r}

Toplam enerji kinetik enerji ile gravitasyonel potansiyel enerjinin toplamıdır ve yol boyunca sabit kalır.

$E$: toplam mekanik enerji
$r$: iki cisim arasındaki uzaklık

v_{e s c} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

R yarıçaplı bir yüzeyden kaçış hızı, G M bölü R'nin karekökünün iki katının karekökü kadardır.

$v_{e s c}$: kaçış hızı
$R$: ağır cismin yarıçapı (örneğin Dünya)

Dikkat

Dairesel yörünge hızı v = sqrt(G M / R) ile kaçış hızı v = sqrt(2 G M / R)'yi karıştırma. Kaçış hızı √2 kat daha büyüktür.
Gezegenin kütlesi m, v^2 = G M / R ifadesinde sadeleşir. Yörünge hızı formülüne m koyma.

Alıştırma

Hesapla Çözümü kontrol edildi

Ağır bir cisim için G M = 4,0 × 10^14 m^3/s^2 ve yörünge yarıçapı R = 2,0 × 10^7 m alalım. v^2 = G M / R kullanarak dairesel yörünge hızını v bul.

İpucu

Önce GM/R'yi hesapla, sonra karekök al.

Çözüm

v^2 = GM / R = (4,0 × 10^14) / (2,0 × 10^7) hesabını yap.
v^2 = 2,0 × 10^7 m^2/s^2.
v = sqrt(2,0 × 10^7) ≈ 4,47 × 10^3 m/s.

v ≈ 4,5 × 10^3 m/s (yaklaşık 4,5 km/s)

Hesapla Çözümü kontrol edildi

Aynı GM = 4,0 × 10^14 m^3/s^2 ve R = 2,0 × 10^7 m değerlerini kullanarak kaçış hızı v_esc = sqrt(2GM/R)'yi bul.

İpucu

Kaçış hızı, dairesel hızın karekök 2 ile çarpımıdır.

Çözüm

2GM/R = 2 × 2,0 × 10^7 = 4,0 × 10^7 m^2/s^2.
v_esc = sqrt(4,0 × 10^7) ≈ 6,32 × 10^3 m/s.

v_esc ≈ 6,3 × 10^3 m/s

Açıkla Çözümü kontrol edildi

Küçük gezegenin kütlesinin, dairesel yörünge hızı formülünde neden yer almadığını kendi cümlelerinle açıkla.

İpucu

İki kuvvete bak: çekim kuvvetinde m vardır, merkezcil kuvvette de m vardır.

Çözüm

M üzerindeki çekim G M m / R^2'dir ve gereken merkezcil kuvvet m v^2 / R'dir.
Her iki tarafta da m olduğu için sadeleşir ve v^2 = G M / R kalır.
Aynı yarıçaptaki her küçük cisim, kütlesi ne olursa olsun aynı hızla hareket eder.

Hem çekim kuvveti hem de dairede dönmek için gereken kuvvet m ile orantılıdır; bu yüzden m sadeleşir ve hız yalnızca M ve R'ye bağlıdır.

Karalama defterinde

Büyük bir daire çiz, merkezine büyük bir M noktası, çember üzerine küçük bir m noktası koy. m'den M'ye doğru F_grav etiketli bir ok, bir de v etiketli teğet ok çiz. Yanına şunu yaz: F_grav = F_cent, yani G M / R^2 = v^2 / R.

Test

Yörünge çiziminde, küçük m kütlesini M'nin etrafında daire şeklinde hareket ettiren hangi kuvvettir?
1. Uzaydaki sürtünme
2. M'ye doğru çeken m'nin yerçekimi
3. m'nin roket itkisi
4. M'nin manyetik kuvveti
Cevabı göster
B. M'ye doğru çeken m'nin yerçekimi · Yerçekimi m'den M'ye doğru yönelir ve merkezcil kuvveti sağlar.
5:00 o anı izle
Dairesel bir yörüngede yörünge hızı neye bağlıdır?
1. Yalnızca gezegenin m kütlesine
2. Ağır M kütlesine ve R yarıçapına
3. Gezegenin rengine
4. Yalnızca günün saatine
Cevabı göster
B. Ağır M kütlesine ve R yarıçapına · G M m / R^2 = m v^2 / R eşitliğinden v^2 = G M / R çıkar; bu da yalnızca M ve R'ye bağlıdır.
6:11 o anı izle
m çok daha küçük olduğunda ağır M kütlesini neden hareketsiz kabul edebiliriz?
1. Çünkü M'nin yerçekimi yoktur
2. Çünkü M o kadar büyüktür ki hareketi m'ninkine kıyasla ihmal edilebilir
3. Çünkü m her zaman durgundur
4. Çünkü enerji korunmaz
Cevabı göster
B. Çünkü M o kadar büyüktür ki hareketi m'ninkine kıyasla ihmal edilebilir · m, M'den çok küçük olduğu için ağır cisim neredeyse hiç hareket etmez; hareketin neredeyse tamamını küçük cisim yapar.
4:51 o anı izle
Dünya'nın yüzeyinden kaçış hızı yaklaşık olarak nedir?
1. 11 km/s
2. 11 m/s
3. 110 km/s
4. 1.1 km/s
Cevabı göster
A. 11 km/s · Lewin'in tahtası, Dünya için v = sqrt(2GM/R) formülüyle yaklaşık 11,2 km/s verir.
8:00 o anı izle

1. dersi videoyla aç →

Beyond, For the Allure of Physics kanalının “Lec 14: Orbits and Escape Velocity | 8.01 Classical Mechanics, Fall 1999 (Walter Lewin)” videosundan yaptı. Video YouTube’un kendi oynatıcısında oynar. YouTube’da izle · Bütün dersler

6 ders ve bir final projesi

Kepler yasaları ve yörünge problemi: küçük bir gezegen, devasa bir güneş etrafında

Dairesel yörüngeler: yerçekimi merkezcil kuvveti sağlar

Kepler'in üçüncü yasası ile yörünge hızı ve periyodu

Yerçekimli potansiyel enerjili yörüngenin toplam enerjisi

Enerji korunumundan kaçış hızını türetme

Eliptik Yörüngeler, Bağlı ve Bağlı Olmayan Hareket

Görev Planlayıcı: Dairesel Yörüngeden Kaçışa

Kepler yasaları ve yörünge problemi: küçük bir gezegen, devasa bir güneş etrafında

Fikir

Ana noktalar

Bilmen gereken kelimeler

Formüller

Dikkat

Alıştırma

Karalama defterinde

Test