1 2 3 4 5 6

0:00videonun tamamına yayılmış 6 ders50:03

Neler yapabileceksin

Newton'un çekim yasasından dairesel yörüngedeki bir cismin yörünge hızını ve periyodunu türet.
Yörüngedeki bir cisim için kinetik enerji ile gravitasyonel potansiyel enerji arasındaki ilişkiyi enerji korunumu ile kur.
Bir gezegenin yüzeyinden kaçış hızını GM ve yarıçapı kullanarak hesapla.
Kepler yasalarının gezegen hareketini nasıl tanımladığını açıkla ve bunları Newton'un çekim kuramına bağla.
Toplam mekanik enerjiye bakarak yörüngeleri bağlı veya bağsız olarak sınıflandır.
Enerji ve açısal momentumu kullanarak eliptik, dairesel ve kaçış yörüngelerini ayırt et.

Önce bilmen iyi olur

Newton'un ikinci yasası ve merkezcil ivme
Newton'un evrensel çekim yasası
Mekanik enerji korunumu ve gravitasyonel potansiyel enerji
Enerji ifadelerini integre etmek veya düzenlemek için temel kalkülüs

Müfredat

6 ders ve bir final projesi

1
Kepler yasaları ve yörünge problemi: küçük bir gezegen, dev bir güneşin etrafında Ücretsiz
0:00–9:009 dk video
Bu ders yörünge problemini kuruyor: çok daha ağır bir M kütlesinin çekimiyle tutulan küçük bir m kütlesi. Çekimin, gezegeni yolunda tutan merkezcil kuvveti nasıl sağladığını gösteriyor ve kaçış hızının arkasındaki enerji fikrini tanıtıyor.
4 formül3 alıştırma4 soru
2
Dairesel yörüngeler: Yerçekimi merkezcil kuvveti sağlar Beyond Pass
9:00–20:4012 dk video
Dairesel yörüngedeki bir uydu, yerçekimi tarafından yolunda tutulur; yerçekimi merkezcil kuvvet rolünü oynar. Yerçekimini mv²/r ile eşitlemek yörünge hızını, oradan da periyodu verir.
3 formül2 alıştırma3 soru
3
Kepler'in üçüncü yasasıyla yörünge hızı ve periyodu Beyond Pass
20:40–27:207 dk video
Bu ders, Kepler'in üçüncü yasasının dairesel bir yörüngenin periyodunu yarıçapına nasıl bağladığını ve bunu yerçekimiyle birleştirerek yörünge hızını nasıl bulduğumuzu gösteriyor. Bu iki formülü bir uydu örneğinde çalışacaksın.
1 kod3 formül3 adım3 alıştırma3 soru
4
Yerçekimi potansiyelli bir yörüngenin toplam enerjisi Beyond Pass
27:20–35:008 dk video
Bu ders, yörüngedeki bir cismin toplam enerjisinin kinetik enerji ile yerçekimi potansiyel enerjisinin toplamı olduğunu ve bu toplamın işaretinin yörüngenin bağlı mı yoksa kaçış yörüngesi mi olduğunu belirlediğini gösterir. Ayrıca dersteki örneklerle enerji ve güç büyüklükleri hakkında bir fikir edinmeni sağlar.
3 alıştırma3 soru
5
Kaçış hızını enerji korunumundan türetmek Beyond Pass
35:00–42:007 dk video
Dünya yüzeyinden fırlatılan bir cisim, toplam enerjisini sonsuzlukta sıfıra çıkaracak kadar kinetik enerjiye sahipse yerçekiminden sonsuza dek kurtulabilir. Enerji korunumu bunu kaçış hızı için tek bir formüle dönüştürür.
2 formül2 alıştırma3 soru
6
Eliptik Yörüngeler, Bağlı ve Bağsız Hareket Beyond Pass
42:00–50:038 dk video
Bu ders, bir yörüngenin enerjisinin şeklini nasıl belirlediğini gösterir: bağlı yörüngeler kapalı elipslerdir, bağsız yörüngeler ise sonsuza kaçar. Ayrıca dersteki yörünge hareketinin temel fikirlerini özetler.
2 alıştırma3 soru

Final projesi

Görev Planlayıcı: Dairesel Yörüngeden Kaçışa

Yalnızca GM ve yarıçapı kullanarak bir gezegen etrafındaki uydu görevini planlayan küçük bir hesap makinesi ve kısa bir rapor hazırla. Dairesel yörünge hızını, periyodu, enerjiyi ve kaçış hızını birbirine bağlamalı ve her sonucun Newton çekim yasasından ve Kepler yasalarından nasıl çıktığını açıklamalısın.

7 görev Beyond Pass ile açılır.

Ücretsiz önizleme · 1. dersin tamamı

Kepler yasaları ve yörünge problemi: küçük bir gezegen, dev bir güneşin etrafında

Bu ders yörünge problemini kuruyor: çok daha ağır bir M kütlesinin çekimiyle tutulan küçük bir m kütlesi. Çekimin, gezegeni yolunda tutan merkezcil kuvveti nasıl sağladığını gösteriyor ve kaçış hızının arkasındaki enerji fikrini tanıtıyor.

0:00 videoda 9:00 anına kadar

Karalama defteri

Videonun yanında çiz ve yaz.

Fikir

Lewin, bir gezegenin yörüngede nasıl kaldığı sorusuyla başlıyor. Küçük bir m kütlesinin (bir gezegen), çok daha ağır bir M kütlesinin (Güneş; tahtada güneş sembolüyle M yazılı) etrafında döndüğünü düşün. m, M'den çok çok küçük olduğu için M'yi hareketsiz kabul edebiliriz; hareket eden yalnızca küçük cisimdir. Tahtadaki çizimde, ağır cismin etrafında yaklaşık dairesel, R yarıçaplı bir yol ve bu yolun bir noktasında küçük cisim görülüyor.

Buradaki temel fikir, yalnızca çekimin önemli olduğu ve bu kuvvetin m'den doğrudan M'ye doğru yöneldiğidir. Yolu bükен şey çekimdir. Çekim olmasaydı, Newton'un birinci yasasının dediği gibi gezegen düz bir çizgide uçup giderdi. Tahtaya F_grav = F_cent yazar: çekim kuvveti, gezegeni R yarıçaplı bir çemberde döndürüp tutan merkezcil kuvvetin tam kendisidir.

Bu iki kuvveti eşitlemek, dairesel yörüngenin hızını verir. Çekim G M m / R^2 büyüklüğünde çeker; v hızıyla dönmek için gereken merkezcil kuvvet ise m v^2 / R'dir. Bir m ile bir R sadeleşince v^2 = G M / R elde edilir. Yani hız, gezegenin kendi kütlesine değil, ağır kütleye ve yarıçapa bağlıdır.

Aynı tahta bir enerji yaklaşımına da başlar. Toplam enerji E, kinetik enerji ile gravitasyonel potansiyel enerjinin toplamıdır: E = (1/2) m v^2 - G M m / r. Lewin bunu hareketin başlangıcı ve sonu olmak üzere iki konum için yazar ve enerji korunduğu için bunları eşitler. Bu enerji hesabı iki durum doğurur: toplam enerji negatifse cisim bağlıdır ve bir yörünge izler; sıfır veya pozitifse cisim kaçabilir.

Kaçış hızı, cisim ağır cismin yüzeyinden başladığında toplam enerjinin tam olarak sıfır olduğu hızdır. Lewin bunu Dünya'nın yüzeyinde hesaplar ve v_esc = sqrt(2 G M / R) sonucunu bulur; Dünya için bu yaklaşık 11,2 km/s eder. Ardından dairesel yörünge hızının kaçış hızından karekök iki kadar küçük olduğunu belirtir; yani iki hız birbiriyle ilişkili ama farklıdır.

Ana noktalar

m çok küçük olduğunda ağır kütle M'yi sabit kabul et; yalnızca küçük cisim hareket eder. 4:51
Çekim merkezcil kuvvettir: G M m / R^2 = m v^2 / R. 5:00
Dairesel bir yörünge için v^2 = G M / R olur; bu yüzden gezegenin kendi kütlesi önemli değildir. 6:11
Toplam enerji E = (1/2) m v^2 - G M m / r yol boyunca korunur. 2:00
Kaçış hızı v = sqrt(2 G M / R) ile verilir; Dünya'nın yüzeyinden yaklaşık 11 km/s'dir. 8:00

Bilmen gereken kelimeler

Yörünge: Küçük bir cismin, çekimin onu sürekli kendine doğru çekmesi nedeniyle çok daha ağır bir cismin etrafında izlediği eğri yol.
Merkezcil kuvvet: Bir cismi çember üzerinde hareket ettiren içe yönelik kuvvet; burada bu kuvveti çekim sağlar.
Gravitasyonel potansiyel enerji: İki kütle arasındaki çekimde depolanan enerji; r uzaklığı için -G M m / r olarak yazılır.
Bağlı yörünge: Toplam enerjinin negatif olduğu yol; cisim sonsuz uzaklığa gidemez.
Kaçış hızı: Toplam enerjinin sıfıra ulaşması ve cismin sonsuza kadar ayrılabilmesi için bir yüzeyden verilmesi gereken en düşük başlangıç hızı.

Formüller

F_{g r a v} = F_{c e n t} \Rightarrow \frac{G M m}{R^{2}} = \frac{m v^{2}}{R}

Gravitasyon, küçük kütleyi bir çemberde hareket ettirmek için gereken kuvvetin tam aynısıyla çeker.

$G$: evrensel çekim sabiti
$M$: ağır cismin kütlesi (Güneş ya da Dünya)
$m$: küçük yörüngedeki cismin kütlesi
$R$: dairesel yörüngenin yarıçapı
$v$: küçük cismin hızı

v^{2} = \frac{G M}{R}

Dairesel bir yörünge için hızın karesi, G ile M'nin çarpımının yarıçapa bölümüne eşittir.

$v$: yörünge hızı
$R$: yörünge yarıçapı

E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{r}

Toplam enerji, kinetik enerji ile gravitasyonel potansiyel enerjinin toplamıdır ve yol boyunca sabit kalır.

$E$: toplam mekanik enerji
$r$: iki cisim arasındaki uzaklık

v_{e s c} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

R yarıçaplı bir yüzeyden kaçış hızı, 2GM/R'nin karekökündedir.

$v_{e s c}$: kaçış hızı
$R$: ağır cismin yarıçapı (örneğin Dünya)

Alıştırma

Hesapla Çözümü kontrol edildi

G M = 4.0 × 10^14 m^3/s^2 olan ağır bir cisim ve R = 2.0 × 10^7 m yörünge yarıçapı alalım. v^2 = G M / R kullanarak dairesel yörünge hızı v'yi bul.

İpucu

Önce GM/R'yi hesapla, sonra karekökünü al.

Çözüm

v^2 = GM / R = (4.0 × 10^14) / (2.0 × 10^7) hesabını yap.
v^2 = 2.0 × 10^7 m^2/s^2.
v = sqrt(2.0 × 10^7) ≈ 4.47 × 10^3 m/s.

v ≈ 4.5 × 10^3 m/s (yaklaşık 4.5 km/s)

Hesapla Çözümü kontrol edildi

Aynı GM = 4.0 × 10^14 m^3/s^2 ve R = 2.0 × 10^7 m değerleriyle kaçış hızı v_esc = sqrt(2GM/R)'yi bul.

İpucu

Kaçış hızı, dairesel hızın karekök iki ile çarpımıdır.

Çözüm

2GM/R = 2 × 2.0 × 10^7 = 4.0 × 10^7 m^2/s^2.
v_esc = sqrt(4.0 × 10^7) ≈ 6.32 × 10^3 m/s.

v_esc ≈ 6.3 × 10^3 m/s

Açıkla Çözümü kontrol edildi

Kendi cümlelerinle açıkla: küçük gezegenin kütlesi dairesel yörünge hızı formülünde neden yer almaz?

İpucu

İki kuvvete bak: çekimde m vardır, merkezcil kuvvette de m vardır.

Çözüm

m üzerindeki çekim G M m / R^2'dir ve gereken merkezcil kuvvet m v^2 / R'dir.
İki tarafta da m olduğu için sadeleşir ve v^2 = G M / R kalır.
Aynı yarıçaptaki her küçük cisim, kütlesi ne olursa olsun aynı hızla hareket eder.

Hem çekim kuvveti hem de çembersel dönmek için gereken kuvvet m ile orantılıdır; bu yüzden m sadeleşir ve hız yalnızca M ile R'ye bağlıdır.

Karalama defterinde

Büyük bir daire çiz; merkezine büyük bir M noktası, çember üzerine küçük bir m noktası koy. m'den M'ye doğru F_grav etiketli bir ok, bir de v etiketli teğet bir ok çiz. Yanına şunu yaz: F_grav = F_cent, yani G M / R^2 = v^2 / R.

Test

Yörünge çiziminde, küçük m kütlesini M'nin etrafında bir çemberde hareket ettiren kuvvet hangisidir?
1. Uzayla sürtünme
2. M'ye doğru çeken m üzerindeki çekim
3. m'nin roket itkisi
4. M'nin manyetik kuvveti
Cevabı göster
B. M'ye doğru çeken m üzerindeki çekim · Yerçekimi m'den M'ye doğru yönelir ve merkezcil kuvveti sağlar.
5:00 o anı izle
Dairesel bir yörüngede yörünge hızı neye bağlıdır?
1. Yalnızca gezegenin kütlesi m'ye
2. Ağır kütle M ve yarıçap R
3. Gezegenin rengine
4. Yalnızca günün saatine
Cevabı göster
B. Ağır kütle M ve yarıçap R · G M m / R^2 = m v^2 / R eşitliğinden v^2 = G M / R elde edilir; bu da yalnızca M ve R'ye bağlıdır.
6:11 o anı izle
Küçük kütle m çok daha küçük olduğunda ağır kütle M'nin hareket etmediğini neden varsayabiliriz?
1. Çünkü M'nin yerçekimi yoktur
2. Çünkü M çok büyük olduğundan hareketi m'nin hareketine kıyasla ihmal edilebilir kadar küçüktür
3. Çünkü m her zaman durgundur
4. Çünkü enerji korunmaz
Cevabı göster
B. Çünkü M çok büyük olduğundan hareketi m'nin hareketine kıyasla ihmal edilebilir kadar küçüktür · m, M'den çok daha küçük olduğu için ağır cisim neredeyse hiç hareket etmez; hareketin neredeyse tamamını küçük cisim yapar.
4:51 o anı izle
Dünya'nın yüzeyinden kaçış hızı yaklaşık olarak nedir?
1. 11 km/s
2. 11 m/s
3. 110 km/s
4. 1,1 km/s
Cevabı göster
A. 11 km/s · Lewin'in tahtası, Dünya için v = sqrt(2GM/R) formülüyle yaklaşık 11,2 km/s verir.
8:00 o anı izle

1. dersi videoyla aç →

2–6. dersler ve final projesi

Beyond Pass ile açılırlar: her kursun her dersi, eksiksiz. Tek ödeme: 90 gün için $14.99 ya da bir yıl için $29. Abonelik yok.

Beyond Pass al →1. derse ücretsiz başla

Beyond, For the Allure of Physics kanalının “Lec 14: Orbits and Escape Velocity | 8.01 Classical Mechanics, Fall 1999 (Walter Lewin)” videosundan yaptı. Video YouTube’un kendi oynatıcısında oynar. YouTube’da izle · Bütün dersler

6 ders ve bir final projesi

Kepler yasaları ve yörünge problemi: küçük bir gezegen, dev bir güneşin etrafında Ücretsiz

Dairesel yörüngeler: Yerçekimi merkezcil kuvveti sağlar Beyond Pass

Kepler'in üçüncü yasasıyla yörünge hızı ve periyodu Beyond Pass

Yerçekimi potansiyelli bir yörüngenin toplam enerjisi Beyond Pass

Kaçış hızını enerji korunumundan türetmek Beyond Pass

Eliptik Yörüngeler, Bağlı ve Bağsız Hareket Beyond Pass

Görev Planlayıcı: Dairesel Yörüngeden Kaçışa

Kepler yasaları ve yörünge problemi: küçük bir gezegen, dev bir güneşin etrafında

Fikir

Ana noktalar

Bilmen gereken kelimeler

Formüller

Alıştırma

Karalama defterinde

Test

2–6. dersler ve final projesi