Lec 1 | MIT 18.01 Cálculo de una variable, otoño de 2007

Este capítulo de apertura del curso MIT 18.01 Cálculo de una variable prepara el terreno. El curso está organizado en unidades, y la Unidad I trata sobre la derivación. El profesor escribe el título '18.01 UNIT I DIFFERENTIATION' en la pizarra y luego plantea la primera pregunta de la unidad: '¿Qué es una derivada?'

El video dice que una derivada tiene dos interpretaciones que conviene tener presentes desde el principio. La primera es la interpretación geométrica: la derivada de una función te indica la pendiente de su gráfica, y específicamente la pendiente de la recta tangente en un punto. La segunda es la interpretación física: la derivada te dice qué tan rápido cambia una cantidad. Ambas miradas describen el mismo objeto, vista desde dos ángulos.

¿Por qué importa? El profesor señala que las derivadas son importantes en todas las mediciones de la ciencia, la ingeniería, la economía y la ciencia política. Siempre que algo cambia y quieres medir qué tan rápido lo hace, estás derivando.

Aquí tienes la idea geométrica en la forma con la que empieza la lección. Supón que tienes una curva $y=f(x)$ y un punto $P=(x_0,y_0)$ sobre ella. La pregunta es: encuentra la recta tangente a la curva en P. Una recta tangente es la recta que apenas toca la curva en P y tiene la misma dirección que la curva en ese punto. Su pendiente es la derivada en $x_0$.

Mantén juntas las dos ideas. En una gráfica, la derivada es una pendiente: una pendiente pronunciada significa que cambia rápido, una pendiente plana significa que cambia despacio, y cero significa que en ese momento no cambia. En una situación física, el mismo número es una tasa: cuántos litros por minuto, cuántos dólares por año, cuántos metros por segundo. Aprender a moverte entre estas dos imágenes es la habilidad central de la Unidad I.